$$$7^{- \frac{1}{x}}$$$ 的積分

求$$$\int 7^{- \frac{1}{x}}\, dx$$$。

換底:

$${\color{red}{\int{7^{- \frac{1}{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} d x}}}$$

對於積分 $$$\int{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}\right)^{\prime }dx=\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x^{2}} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x^{2}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\ln{\left(7 \right)}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}}{x}$$$：

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x} d x}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - {\color{red}{\ln{\left(7 \right)} \int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}}{x} d x}}}$$

令 $$$u=- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = \frac{du}{\ln{\left(7 \right)}}$$$。

所以，

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}}{x} d x}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$：

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

此積分（指數積分）不存在閉式表示：

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}$$$：

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{7^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{7^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x} \right)}+C$$

$$$\int 7^{- \frac{1}{x}}\, dx = \left(x e^{- \frac{\ln\left(7\right)}{x}} + \ln\left(7\right) \operatorname{Ei}{\left(- \frac{\ln\left(7\right)}{x} \right)}\right) + C$$$A