$$$7^{- \frac{1}{x}}$$$の積分

$$$\int 7^{- \frac{1}{x}}\, dx$$$ を求めよ。

基数を変更:

$${\color{red}{\int{7^{- \frac{1}{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} d x}}}$$

積分 $$$\int{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}\right)^{\prime }dx=\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x^{2}} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x^{2}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\ln{\left(7 \right)}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}}{x}$$$ に対して適用する:

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} \ln{\left(7 \right)}}{x} d x}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - {\color{red}{\ln{\left(7 \right)} \int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}}{x} d x}}}$$

$$$u=- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x^{2}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2}} = \frac{du}{\ln{\left(7 \right)}}$$$ となります。

したがって、

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}}}{x} d x}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$ に対して適用する:

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} - \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

この積分（指数積分）には閉形式はありません:

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}$$$:

$$x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{7^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{7^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x}} + \ln{\left(7 \right)} \operatorname{Ei}{\left(- \frac{\ln{\left(7 \right)}}{x} \right)}+C$$

$$$\int 7^{- \frac{1}{x}}\, dx = \left(x e^{- \frac{\ln\left(7\right)}{x}} + \ln\left(7\right) \operatorname{Ei}{\left(- \frac{\ln\left(7\right)}{x} \right)}\right) + C$$$A