$$$15 \sqrt{5} e^{5 x}$$$ 的積分

求$$$\int 15 \sqrt{5} e^{5 x}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=15 \sqrt{5}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{5 x}$$$：

$${\color{red}{\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x}}} = {\color{red}{\left(15 \sqrt{5} \int{e^{5 x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=5 x$$$。

則 $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{5}$$$。

該積分可改寫為

$$15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{e^{5 x} d x}}} = 15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = 15 \sqrt{5} {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$3 \sqrt{5} {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 \sqrt{5} {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=5 x$$$：

$$3 \sqrt{5} e^{{\color{red}{u}}} = 3 \sqrt{5} e^{{\color{red}{\left(5 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x} = 3 \sqrt{5} e^{5 x}$$

加上積分常數：

$$\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x} = 3 \sqrt{5} e^{5 x}+C$$

$$$\int 15 \sqrt{5} e^{5 x}\, dx = 3 \sqrt{5} e^{5 x} + C$$$A