$$$15 \sqrt{5} e^{5 x}$$$ 的积分

求$$$\int 15 \sqrt{5} e^{5 x}\, dx$$$。

对 $$$c=15 \sqrt{5}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{5 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x}}} = {\color{red}{\left(15 \sqrt{5} \int{e^{5 x} d x}\right)}}$$

设$$$u=5 x$$$。

则$$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{5}$$$。

积分变为

$$15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{e^{5 x} d x}}} = 15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = 15 \sqrt{5} {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$3 \sqrt{5} {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 \sqrt{5} {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=5 x$$$:

$$3 \sqrt{5} e^{{\color{red}{u}}} = 3 \sqrt{5} e^{{\color{red}{\left(5 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x} = 3 \sqrt{5} e^{5 x}$$

加上积分常数：

$$\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x} = 3 \sqrt{5} e^{5 x}+C$$

$$$\int 15 \sqrt{5} e^{5 x}\, dx = 3 \sqrt{5} e^{5 x} + C$$$A