Intégrale de $$$15 \sqrt{5} e^{5 x}$$$

Déterminez $$$\int 15 \sqrt{5} e^{5 x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=15 \sqrt{5}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{5 x}$$$ :

$${\color{red}{\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x}}} = {\color{red}{\left(15 \sqrt{5} \int{e^{5 x} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=5 x$$$.

Alors $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{5}$$$.

L’intégrale devient

$$15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{e^{5 x} d x}}} = 15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{5}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$15 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = 15 \sqrt{5} {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$3 \sqrt{5} {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 \sqrt{5} {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=5 x$$$ :

$$3 \sqrt{5} e^{{\color{red}{u}}} = 3 \sqrt{5} e^{{\color{red}{\left(5 x\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x} = 3 \sqrt{5} e^{5 x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{15 \sqrt{5} e^{5 x} d x} = 3 \sqrt{5} e^{5 x}+C$$

$$$\int 15 \sqrt{5} e^{5 x}\, dx = 3 \sqrt{5} e^{5 x} + C$$$A