$$$e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}\, dy$$$。

令 $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$。

則 $$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$：

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\cos{\left(y \right)}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y} = - e^{\cos{\left(y \right)}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y} = - e^{\cos{\left(y \right)}}+C$$

$$$\int e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}\, dy = - e^{\cos{\left(y \right)}} + C$$$A