$$$e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}$$$の積分

$$$\int e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=\cos{\left(y \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\cos{\left(y \right)}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y} = - e^{\cos{\left(y \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y} = - e^{\cos{\left(y \right)}}+C$$

$$$\int e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}\, dy = - e^{\cos{\left(y \right)}} + C$$$A