$$$e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}$$$ 的积分

求$$$\int e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}\, dy$$$。

设$$$u=\cos{\left(y \right)}$$$。

则$$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$ (步骤见»)，并有$$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\cos{\left(y \right)}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y} = - e^{\cos{\left(y \right)}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)} d y} = - e^{\cos{\left(y \right)}}+C$$

$$$\int e^{\cos{\left(y \right)}} \sin{\left(y \right)}\, dy = - e^{\cos{\left(y \right)}} + C$$$A