$$$\ln\left(u\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(u\right)\, du$$$。

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\omega} \operatorname{dv} = \operatorname{\omega}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\omega}$$$。

令 $$$\operatorname{\omega}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\omega}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(u \right)} d u} = u \ln{\left(u \right)} - u$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(u \right)} d u} = u \left(\ln{\left(u \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(u \right)} d u} = u \left(\ln{\left(u \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(u\right)\, du = u \left(\ln\left(u\right) - 1\right) + C$$$A