$$$\ln\left(u\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(u\right)\, du$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{\omega} \operatorname{dv} = \operatorname{\omega}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\omega}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{\omega}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{d\omega}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(u \right)} d u} = u \ln{\left(u \right)} - u$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(u \right)} d u} = u \left(\ln{\left(u \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(u \right)} d u} = u \left(\ln{\left(u \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(u\right)\, du = u \left(\ln\left(u\right) - 1\right) + C$$$A