$$$f^{2} x^{2} e^{x}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int f^{2} x^{2} e^{x}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=f^{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{x}$$$：

$${\color{red}{\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x}}} = {\color{red}{f^{2} \int{x^{2} e^{x} d x}}}$$

對於積分 $$$\int{x^{2} e^{x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$f^{2} {\color{red}{\int{x^{2} e^{x} d x}}}=f^{2} {\color{red}{\left(x^{2} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 x d x}\right)}}=f^{2} {\color{red}{\left(x^{2} e^{x} - \int{2 x e^{x} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$：

$$f^{2} \left(x^{2} e^{x} - {\color{red}{\int{2 x e^{x} d x}}}\right) = f^{2} \left(x^{2} e^{x} - {\color{red}{\left(2 \int{x e^{x} d x}\right)}}\right)$$

對於積分 $$$\int{x e^{x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}\right)=f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}\right)=f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}\right)$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$：

$$f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}}\right) = f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 {\color{red}{e^{x}}}\right)$$

因此，

$$\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x} = f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}\right)$$

化簡：

$$\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x} = f^{2} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$$

加上積分常數：

$$\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x} = f^{2} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+C$$

$$$\int f^{2} x^{2} e^{x}\, dx = f^{2} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$$$A