$$$x$$$ değişkenine göre $$$f^{2} x^{2} e^{x}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int f^{2} x^{2} e^{x}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=f^{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{x}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x}}} = {\color{red}{f^{2} \int{x^{2} e^{x} d x}}}$$

$$$\int{x^{2} e^{x} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$f^{2} {\color{red}{\int{x^{2} e^{x} d x}}}=f^{2} {\color{red}{\left(x^{2} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 x d x}\right)}}=f^{2} {\color{red}{\left(x^{2} e^{x} - \int{2 x e^{x} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$ ile uygula:

$$f^{2} \left(x^{2} e^{x} - {\color{red}{\int{2 x e^{x} d x}}}\right) = f^{2} \left(x^{2} e^{x} - {\color{red}{\left(2 \int{x e^{x} d x}\right)}}\right)$$

$$$\int{x e^{x} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}\right)=f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}\right)=f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}\right)$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}}\right) = f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 {\color{red}{e^{x}}}\right)$$

Dolayısıyla,

$$\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x} = f^{2} \left(x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}\right)$$

Sadeleştirin:

$$\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x} = f^{2} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{f^{2} x^{2} e^{x} d x} = f^{2} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+C$$

$$$\int f^{2} x^{2} e^{x}\, dx = f^{2} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$$$A