$$$\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}}\, dx$$$。

Simplify:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{16 e^{2 x} - 9} d x}}}$$

令 $$$u=4 e^{x}$$$。

則 $$$du=\left(4 e^{x}\right)^{\prime }dx = 4 e^{x} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{x} dx = \frac{du}{4}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{16 e^{2 x} - 9} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(u^{2} - 9\right)} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} - 9}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(u^{2} - 9\right)} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2} - 9} d u}}{4}\right)}}$$

進行部分分式分解（步驟可見 »）:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} - 9} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{6 \left(u + 3\right)} + \frac{1}{6 \left(u - 3\right)}\right)d u}}}}{4}$$

逐項積分：

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{6 \left(u + 3\right)} + \frac{1}{6 \left(u - 3\right)}\right)d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u} - \int{\frac{1}{6 \left(u + 3\right)} d u}\right)}}}{4}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u + 3}$$$：

$$\frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{6 \left(u + 3\right)} d u}}}}{4} = \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u + 3} d u}}{6}\right)}}}{4}$$

令 $$$v=u + 3$$$。

則 $$$dv=\left(u + 3\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dv$$$。

因此，

$$\frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u + 3} d u}}}}{24} = \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

回顧一下 $$$v=u + 3$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 3\right)}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u - 3}$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u - 3} d u}}{6}\right)}}}{4}$$

令 $$$v=u - 3$$$。

則 $$$dv=\left(u - 3\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dv$$$。

所以，

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u - 3} d u}}}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

回顧一下 $$$v=u - 3$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 3\right)}}}\right| \right)}}{24}$$

回顧一下 $$$u=4 e^{x}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{-3 + {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{3 + {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} = \frac{\ln{\left(\left|{-3 + {\color{red}{\left(4 e^{x}\right)}}}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{3 + {\color{red}{\left(4 e^{x}\right)}}}\right| \right)}}{24}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}} d x} = - \frac{\ln{\left(4 e^{x} + 3 \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 e^{x} - 3}\right| \right)}}{24}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}} d x} = - \frac{\ln{\left(4 e^{x} + 3 \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 e^{x} - 3}\right| \right)}}{24}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}}\, dx = \left(- \frac{\ln\left(4 e^{x} + 3\right)}{24} + \frac{\ln\left(\left|{4 e^{x} - 3}\right|\right)}{24}\right) + C$$$A