$$$\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}}\, dx$$$ を求めよ。

Simplify:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{16 e^{2 x} - 9} d x}}}$$

$$$u=4 e^{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 e^{x}\right)^{\prime }dx = 4 e^{x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{x} dx = \frac{du}{4}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{16 e^{2 x} - 9} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(u^{2} - 9\right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} - 9}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(u^{2} - 9\right)} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2} - 9} d u}}{4}\right)}}$$

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} - 9} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{6 \left(u + 3\right)} + \frac{1}{6 \left(u - 3\right)}\right)d u}}}}{4}$$

項別に積分せよ:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{6 \left(u + 3\right)} + \frac{1}{6 \left(u - 3\right)}\right)d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u} - \int{\frac{1}{6 \left(u + 3\right)} d u}\right)}}}{4}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{6}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u + 3}$$$ に対して適用する:

$$\frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{6 \left(u + 3\right)} d u}}}}{4} = \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u + 3} d u}}{6}\right)}}}{4}$$

$$$v=u + 3$$$ とする。

すると $$$dv=\left(u + 3\right)^{\prime }du = 1 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = dv$$$ となります。

したがって、

$$\frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u + 3} d u}}}}{24} = \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$v=u + 3$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 3\right)}}}\right| \right)}}{24} + \frac{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}{4}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{6}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u - 3}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{6 \left(u - 3\right)} d u}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u - 3} d u}}{6}\right)}}}{4}$$

$$$v=u - 3$$$ とする。

すると $$$dv=\left(u - 3\right)^{\prime }du = 1 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = dv$$$ となります。

したがって、

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u - 3} d u}}}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$v=u - 3$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{24} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 3}\right| \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 3\right)}}}\right| \right)}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 e^{x}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{-3 + {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{3 + {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{24} = \frac{\ln{\left(\left|{-3 + {\color{red}{\left(4 e^{x}\right)}}}\right| \right)}}{24} - \frac{\ln{\left(\left|{3 + {\color{red}{\left(4 e^{x}\right)}}}\right| \right)}}{24}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}} d x} = - \frac{\ln{\left(4 e^{x} + 3 \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 e^{x} - 3}\right| \right)}}{24}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}} d x} = - \frac{\ln{\left(4 e^{x} + 3 \right)}}{24} + \frac{\ln{\left(\left|{4 e^{x} - 3}\right| \right)}}{24}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{16 - 9 e^{- 2 x}}\, dx = \left(- \frac{\ln\left(4 e^{x} + 3\right)}{24} + \frac{\ln\left(\left|{4 e^{x} - 3}\right|\right)}{24}\right) + C$$$A