$$$e^{- u}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- u}\, du$$$。

令 $$$v=- u$$$。

則 $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = - dv$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

回顧一下 $$$v=- u$$$：

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A