Ολοκλήρωμα του $$$e^{- u}$$$

Βρείτε $$$\int e^{- u}\, du$$$.

Έστω $$$v=- u$$$.

Τότε $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$du = - dv$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ με $$$c=-1$$$ και $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$v=- u$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A