$$$e^{- u}$$$の積分

$$$\int e^{- u}\, du$$$ を求めよ。

$$$v=- u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = - dv$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$です:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=- u$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A