$$$e^{9 x} \cos{\left(x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{9 x} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{9 x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \sin{\left(x \right)} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{9 x} d x}=\frac{e^{9 x}}{9}$$$（步驟見 »）。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(x \right)} \cdot \frac{e^{9 x}}{9}-\int{\frac{e^{9 x}}{9} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \int{\left(- \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{9}\right)d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{9}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{9 x} \sin{\left(x \right)}$$$：

$$\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{9}\right)d x}}} = \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{9 x} \sin{\left(x \right)} d x}}{9}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{e^{9 x} \sin{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{9 x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\cos{\left(x \right)} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{9 x} d x}=\frac{e^{9 x}}{9}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{{\color{red}{\int{e^{9 x} \sin{\left(x \right)} d x}}}}{9}=\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{{\color{red}{\left(\sin{\left(x \right)} \cdot \frac{e^{9 x}}{9}-\int{\frac{e^{9 x}}{9} \cdot \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}}{9}=\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{9} - \int{\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} d x}\right)}}}{9}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{9}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{9 x} \cos{\left(x \right)}$$$：

$$\frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{81} + \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} d x}}}}{9} = \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{81} + \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}}{9}\right)}}}{9}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{81} + \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}}{81}$$

求解後，可得

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82}$$

因此，

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82}+C$$

$$$\int e^{9 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82} + C$$$A