$$$e^{9 x} \cos{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int e^{9 x} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{9 x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \sin{\left(x \right)} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{9 x} d x}=\frac{e^{9 x}}{9}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(x \right)} \cdot \frac{e^{9 x}}{9}-\int{\frac{e^{9 x}}{9} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \int{\left(- \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{9}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{1}{9}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{9 x} \sin{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{9}\right)d x}}} = \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{9 x} \sin{\left(x \right)} d x}}{9}\right)}}$$

積分 $$$\int{e^{9 x} \sin{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{9 x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\cos{\left(x \right)} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{9 x} d x}=\frac{e^{9 x}}{9}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{{\color{red}{\int{e^{9 x} \sin{\left(x \right)} d x}}}}{9}=\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{{\color{red}{\left(\sin{\left(x \right)} \cdot \frac{e^{9 x}}{9}-\int{\frac{e^{9 x}}{9} \cdot \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}}{9}=\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{9} - \int{\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} d x}\right)}}}{9}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{9}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{9 x} \cos{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{81} + \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} d x}}}}{9} = \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{81} + \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}}{9}\right)}}}{9}$$

すでに見た積分に帰着しました。

したがって、積分に関する次の簡単な等式を得ました:

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{e^{9 x} \sin{\left(x \right)}}{81} + \frac{e^{9 x} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x}}{81}$$

これを解くと、次のようになります。

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82}$$

したがって、

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{9 x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82}+C$$

$$$\int e^{9 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{9 x}}{82} + C$$$A