$$$e^{32 y}$$$ 的積分

求$$$\int e^{32 y}\, dy$$$。

令 $$$u=32 y$$$。

則 $$$du=\left(32 y\right)^{\prime }dy = 32 dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = \frac{du}{32}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{32 y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{32} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{32}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{32} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{32}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{32} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{32}$$

回顧一下 $$$u=32 y$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{32} = \frac{e^{{\color{red}{\left(32 y\right)}}}}{32}$$

因此，

$$\int{e^{32 y} d y} = \frac{e^{32 y}}{32}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{32 y} d y} = \frac{e^{32 y}}{32}+C$$

$$$\int e^{32 y}\, dy = \frac{e^{32 y}}{32} + C$$$A