$$$e^{32 y}$$$の積分

$$$\int e^{32 y}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=32 y$$$ とする。

すると $$$du=\left(32 y\right)^{\prime }dy = 32 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = \frac{du}{32}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{32 y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{32} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{32}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{32} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{32}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{32} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{32}$$

次のことを思い出してください $$$u=32 y$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{32} = \frac{e^{{\color{red}{\left(32 y\right)}}}}{32}$$

したがって、

$$\int{e^{32 y} d y} = \frac{e^{32 y}}{32}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{32 y} d y} = \frac{e^{32 y}}{32}+C$$

$$$\int e^{32 y}\, dy = \frac{e^{32 y}}{32} + C$$$A