$$$\operatorname{atan}{\left(7 t \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \operatorname{atan}{\left(7 t \right)}\, dt$$$。

令 $$$u=7 t$$$。

則 $$$du=\left(7 t\right)^{\prime }dt = 7 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{7}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(7 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{7}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}}{7}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\omega} \operatorname{dv} = \operatorname{\omega}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\omega}$$$。

令 $$$\operatorname{\omega}=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\omega}=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u^{2} + 1}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}}}}{7}=\frac{{\color{red}{\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{7}=\frac{{\color{red}{\left(u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{7}$$

令 $$$v=u^{2} + 1$$$。

則 $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$u du = \frac{dv}{2}$$$。

所以，

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}}}{7} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{7}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{7} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}}{7}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{14} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{14}$$

回顧一下 $$$v=u^{2} + 1$$$：

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{14} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{7} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{14}$$

回顧一下 $$$u=7 t$$$：

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{14} + \frac{{\color{red}{u}} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{7} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\left(7 t\right)}}^{2} \right)}}{14} + \frac{{\color{red}{\left(7 t\right)}} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(7 t\right)}} \right)}}{7}$$

因此，

$$\int{\operatorname{atan}{\left(7 t \right)} d t} = t \operatorname{atan}{\left(7 t \right)} - \frac{\ln{\left(49 t^{2} + 1 \right)}}{14}$$

加上積分常數：

$$\int{\operatorname{atan}{\left(7 t \right)} d t} = t \operatorname{atan}{\left(7 t \right)} - \frac{\ln{\left(49 t^{2} + 1 \right)}}{14}+C$$

$$$\int \operatorname{atan}{\left(7 t \right)}\, dt = \left(t \operatorname{atan}{\left(7 t \right)} - \frac{\ln\left(49 t^{2} + 1\right)}{14}\right) + C$$$A