$$$6 e^{3 x}$$$ 的積分

求$$$\int 6 e^{3 x}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=6$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$：

$${\color{red}{\int{6 e^{3 x} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \int{e^{3 x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=3 x$$$。

則 $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。

該積分可改寫為

$$6 {\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}} = 6 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$6 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=3 x$$$：

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{6 e^{3 x} d x} = 2 e^{3 x}$$

加上積分常數：

$$\int{6 e^{3 x} d x} = 2 e^{3 x}+C$$

$$$\int 6 e^{3 x}\, dx = 2 e^{3 x} + C$$$A