Intégrale de $$$6 e^{3 x}$$$

Déterminez $$$\int 6 e^{3 x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=6$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$ :

$${\color{red}{\int{6 e^{3 x} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \int{e^{3 x} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=3 x$$$.

Alors $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{3}$$$.

Ainsi,

$$6 {\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}} = 6 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{3}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$6 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=3 x$$$ :

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{6 e^{3 x} d x} = 2 e^{3 x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{6 e^{3 x} d x} = 2 e^{3 x}+C$$

$$$\int 6 e^{3 x}\, dx = 2 e^{3 x} + C$$$A