$$$6^{- 3 x}$$$ 的積分

求$$$\int 6^{- 3 x}\, dx$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{6^{- 3 x} d x}=\int{216^{- x} d x}$$$。

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{216^{- x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 216^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = 216^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 216^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{216^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=216$$$:

$$- {\color{red}{\int{216^{u} d u}}} = - {\color{red}{\frac{216^{u}}{\ln{\left(216 \right)}}}}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$- \frac{216^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(216 \right)}} = - \frac{216^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(216 \right)}}$$

因此，

$$\int{216^{- x} d x} = - \frac{216^{- x}}{\ln{\left(216 \right)}}$$

化簡：

$$\int{216^{- x} d x} = - \frac{216^{- x}}{3 \ln{\left(6 \right)}}$$

加上積分常數：

$$\int{216^{- x} d x} = - \frac{216^{- x}}{3 \ln{\left(6 \right)}}+C$$

$$$\int 6^{- 3 x}\, dx = - \frac{216^{- x}}{3 \ln\left(6\right)} + C$$$A