$$$2 e^{- 2 x}$$$ 的積分

求$$$\int 2 e^{- 2 x}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{- 2 x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{- 2 x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=- 2 x$$$。

則 $$$du=\left(- 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{du}{2}$$$。

所以，

$$2 {\color{red}{\int{e^{- 2 x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- 2 x$$$：

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(- 2 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{2 e^{- 2 x} d x} = - e^{- 2 x}$$

加上積分常數：

$$\int{2 e^{- 2 x} d x} = - e^{- 2 x}+C$$

$$$\int 2 e^{- 2 x}\, dx = - e^{- 2 x} + C$$$A