$$$2 e^{- 2 x}$$$の積分

$$$\int 2 e^{- 2 x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{- 2 x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{- 2 x} d x}\right)}}$$

$$$u=- 2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$2 {\color{red}{\int{e^{- 2 x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- 2 x$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(- 2 x\right)}}}$$

したがって、

$$\int{2 e^{- 2 x} d x} = - e^{- 2 x}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 e^{- 2 x} d x} = - e^{- 2 x}+C$$

$$$\int 2 e^{- 2 x}\, dx = - e^{- 2 x} + C$$$A