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$$$\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$$ 的積分
相關計算器: 定積分與廣義積分計算器
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求$$$\int \frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}\, d\theta$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$，使用 $$$c=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$$ 與 $$$f{\left(\theta \right)} = \theta^{\frac{3}{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} \int{\theta^{\frac{3}{2}} d \theta}}{\cos{\left(2 \right)}}}}$$
套用冪次法則 $$$\int \theta^{n}\, d\theta = \frac{\theta^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{3}{2}$$$：
$$\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\int{\theta^{\frac{3}{2}} d \theta}}}}{\cos{\left(2 \right)}}=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\frac{\theta^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}}{\cos{\left(2 \right)}}=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\left(\frac{2 \theta^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$
因此，
$$\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta} = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta} = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}}+C$$
答案
$$$\int \frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}\, d\theta = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}} + C$$$A