Intégrale de $$$\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}\, d\theta$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$ avec $$$c=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$$ et $$$f{\left(\theta \right)} = \theta^{\frac{3}{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} \int{\theta^{\frac{3}{2}} d \theta}}{\cos{\left(2 \right)}}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int \theta^{n}\, d\theta = \frac{\theta^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=\frac{3}{2}$$$ :

$$\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\int{\theta^{\frac{3}{2}} d \theta}}}}{\cos{\left(2 \right)}}=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\frac{\theta^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}}{\cos{\left(2 \right)}}=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\left(\frac{2 \theta^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta} = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta} = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}\, d\theta = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}} + C$$$A