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$$$\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$$の積分
関連する計算機: 定積分・広義積分計算機
入力内容
$$$\int \frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}\, d\theta$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$$ と $$$f{\left(\theta \right)} = \theta^{\frac{3}{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} \int{\theta^{\frac{3}{2}} d \theta}}{\cos{\left(2 \right)}}}}$$
$$$n=\frac{3}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int \theta^{n}\, d\theta = \frac{\theta^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\int{\theta^{\frac{3}{2}} d \theta}}}}{\cos{\left(2 \right)}}=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\frac{\theta^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}}{\cos{\left(2 \right)}}=\frac{\sqrt{\sin{\left(2 \right)}} {\color{red}{\left(\frac{2 \theta^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}$$
したがって、
$$\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta} = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}} d \theta} = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}}+C$$
解答
$$$\int \frac{\theta^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{\cos{\left(2 \right)}}\, d\theta = \frac{2 \theta^{\frac{5}{2}} \sqrt{\sin{\left(2 \right)}}}{5 \cos{\left(2 \right)}} + C$$$A