$$$x^{2} e^{4 x}$$$ 的积分

求$$$\int x^{2} e^{4 x}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{x^{2} e^{4 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{4 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 x} d x}=\frac{e^{4 x}}{4}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{4 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \frac{e^{4 x}}{4}-\int{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int{\frac{x e^{4 x}}{2} d x}\right)}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{4 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{x e^{4 x}}{2} d x}}} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x e^{4 x} d x}}{2}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x e^{4 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{4 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 x} d x}=\frac{e^{4 x}}{4}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{x e^{4 x} d x}}}}{2}=\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{4 x}}{4}-\int{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 1 d x}\right)}}}{2}=\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \int{\frac{e^{4 x}}{4} d x}\right)}}}{2}$$

对 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{4 x}}{4} d x}}}}{2} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{4 x} d x}}{4}\right)}}}{2}$$

设$$$u=4 x$$$。

则$$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{4}$$$。

因此，

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}}}{8} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{8}$$

对 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{8} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}}{8}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{32} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{32}$$

回忆一下 $$$u=4 x$$$:

$$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{32} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{32}$$

因此，

$$\int{x^{2} e^{4 x} d x} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{x e^{4 x}}{8} + \frac{e^{4 x}}{32}$$

化简：

$$\int{x^{2} e^{4 x} d x} = \frac{\left(8 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{4 x}}{32}$$

加上积分常数：

$$\int{x^{2} e^{4 x} d x} = \frac{\left(8 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{4 x}}{32}+C$$

$$$\int x^{2} e^{4 x}\, dx = \frac{\left(8 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{4 x}}{32} + C$$$A