$$$- v^{4} + v$$$ 的积分

求$$$\int \left(- v^{4} + v\right)\, dv$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- v^{4} + v\right)d v}}} = {\color{red}{\left(\int{v d v} - \int{v^{4} d v}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$- \int{v^{4} d v} + {\color{red}{\int{v d v}}}=- \int{v^{4} d v} + {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{v^{4} d v} + {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=4$$$：

$$\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\int{v^{4} d v}}}=\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\frac{v^{1 + 4}}{1 + 4}}}=\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{v^{5}}{5}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(- v^{4} + v\right)d v} = - \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{2}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- v^{4} + v\right)d v} = - \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{2}}{2}+C$$

$$$\int \left(- v^{4} + v\right)\, dv = \left(- \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{2}}{2}\right) + C$$$A