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$$$- v^{4} + v$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(- v^{4} + v\right)\, dv$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(- v^{4} + v\right)d v}}} = {\color{red}{\left(\int{v d v} - \int{v^{4} d v}\right)}}$$
$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- \int{v^{4} d v} + {\color{red}{\int{v d v}}}=- \int{v^{4} d v} + {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{v^{4} d v} + {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}$$
$$$n=4$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\int{v^{4} d v}}}=\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\frac{v^{1 + 4}}{1 + 4}}}=\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{v^{5}}{5}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(- v^{4} + v\right)d v} = - \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{2}}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(- v^{4} + v\right)d v} = - \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{2}}{2}+C$$
解答
$$$\int \left(- v^{4} + v\right)\, dv = \left(- \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{2}}{2}\right) + C$$$A