$$$\frac{e^{- x}}{3}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx$$$。

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{3} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{3}\right)}}$$

设$$$u=- x$$$。

则$$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - du$$$。

积分变为

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{3}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=- x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx = - \frac{e^{- x}}{3} + C$$$A