Intégrale de $$$\frac{e^{- x}}{3}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{3} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{3}\right)}}$$

Soit $$$u=- x$$$.

Alors $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - du$$$.

Donc,

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{3}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Rappelons que $$$u=- x$$$ :

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{3}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx = - \frac{e^{- x}}{3} + C$$$A