Integralen av $$$\frac{e^{- x}}{3}$$$

Bestäm $$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{3}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{3} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{3}\right)}}$$

Låt $$$u=- x$$$ vara.

Då $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - du$$$.

Integralen blir

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{3}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Kom ihåg att $$$u=- x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{3}$$

Alltså,

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx = - \frac{e^{- x}}{3} + C$$$A