Ολοκλήρωμα του $$$\frac{e^{- x}}{3}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{3} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{3}\right)}}$$

Έστω $$$u=- x$$$.

Τότε $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = - du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=-1$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{3}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{3}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{e^{- x}}{3} d x} = - \frac{e^{- x}}{3}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{3}\, dx = - \frac{e^{- x}}{3} + C$$$A