$$$e^{x y}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int e^{x y}\, dx$$$。

设$$$u=x y$$$。

则$$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{y}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{y}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{y}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

回忆一下 $$$u=x y$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = \frac{e^{{\color{red}{x y}}}}{y}$$

因此，

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{x y}\, dx = \frac{e^{x y}}{y} + C$$$A