$$$e^{x y}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{x y}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x y$$$ とする。

すると $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{y}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{y}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{y}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

次のことを思い出してください $$$u=x y$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = \frac{e^{{\color{red}{x y}}}}{y}$$

したがって、

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{x y}\, dx = \frac{e^{x y}}{y} + C$$$A