Integral dari $$$e^{x y}$$$ terhadap $$$x$$$

Temukan $$$\int e^{x y}\, dx$$$.

Misalkan $$$u=x y$$$.

Kemudian $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (langkah-langkah dapat dilihat di »), dan kita memperoleh $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

Integral tersebut dapat ditulis ulang sebagai

$${\color{red}{\int{e^{x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}}$$

Terapkan aturan pengali konstanta $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ dengan $$$c=\frac{1}{y}$$$ dan $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{y}}}$$

Integral dari fungsi eksponensial adalah $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

Ingat bahwa $$$u=x y$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = \frac{e^{{\color{red}{x y}}}}{y}$$

Oleh karena itu,

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}$$

Tambahkan konstanta integrasi:

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{x y}\, dx = \frac{e^{x y}}{y} + C$$$A