$$$- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx$$$。

对 $$$c=- \frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{4}\right)}}$$

设$$$u=4 x$$$。

则$$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{4}$$$。

积分变为

$$- \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{4}$$

对 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{4}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{16} = - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{16}$$

回忆一下 $$$u=4 x$$$:

$$- \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{16} = - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{16}$$

因此，

$$\int{\left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)d x} = - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)d x} = - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}+C$$

$$$\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + C$$$A