$$$\frac{\left(y - 4\right)^{2}}{3}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{\left(y - 4\right)^{2}}{3}\, dy$$$。

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(y \right)} = \left(y - 4\right)^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\left(y - 4\right)^{2}}{3} d y}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(y - 4\right)^{2} d y}}{3}\right)}}$$

设$$$u=y - 4$$$。

则$$$du=\left(y - 4\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$ (步骤见»)，并有$$$dy = du$$$。

积分变为

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(y - 4\right)^{2} d y}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{3}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=y - 4$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{3}}{9} = \frac{{\color{red}{\left(y - 4\right)}}^{3}}{9}$$

因此，

$$\int{\frac{\left(y - 4\right)^{2}}{3} d y} = \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{9}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{\left(y - 4\right)^{2}}{3} d y} = \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{9}+C$$

$$$\int \frac{\left(y - 4\right)^{2}}{3}\, dy = \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{9} + C$$$A