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$$$d x e^{x}$$$ 关于$$$x$$$的积分
您的输入
求$$$\int d x e^{x}\, dx$$$。
解答
对 $$$c=d$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$${\color{red}{\int{d x e^{x} d x}}} = {\color{red}{d \int{x e^{x} d x}}}$$
对于积分$$$\int{x e^{x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。
则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (步骤见 »)。
因此，
$$d {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=d {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=d {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$
指数函数的积分为 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$：
$$d \left(x e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}}\right) = d \left(x e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}\right)$$
因此，
$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x e^{x} - e^{x}\right)$$
化简：
$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x - 1\right) e^{x}$$
加上积分常数：
$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x - 1\right) e^{x}+C$$
答案
$$$\int d x e^{x}\, dx = d \left(x - 1\right) e^{x} + C$$$A