$$$d x e^{x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int d x e^{x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=d$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{d x e^{x} d x}}} = {\color{red}{d \int{x e^{x} d x}}}$$

積分 $$$\int{x e^{x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$d {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=d {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=d {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$です:

$$d \left(x e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}}\right) = d \left(x e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}\right)$$

したがって、

$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x e^{x} - e^{x}\right)$$

簡単化せよ:

$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x - 1\right) e^{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x - 1\right) e^{x}+C$$

$$$\int d x e^{x}\, dx = d \left(x - 1\right) e^{x} + C$$$A