Integralen av $$$d x e^{x}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int d x e^{x}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=d$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$:

$${\color{red}{\int{d x e^{x} d x}}} = {\color{red}{d \int{x e^{x} d x}}}$$

För integralen $$$\int{x e^{x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$d {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=d {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=d {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$d \left(x e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}}\right) = d \left(x e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}\right)$$

Alltså,

$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x e^{x} - e^{x}\right)$$

Förenkla:

$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x - 1\right) e^{x}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{d x e^{x} d x} = d \left(x - 1\right) e^{x}+C$$

$$$\int d x e^{x}\, dx = d \left(x - 1\right) e^{x} + C$$$A