椭圆$$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$的性质

求椭圆 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$ 的中心、焦点、顶点、副顶点、长轴长度、半长轴长度、短轴长度、半短轴长度、面积、周长、通径、通径长度（焦宽）、半通径、离心率、离心距（半焦距）、准线、x 轴截点、y 轴截点、定义域和值域。

椭圆的方程为$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中$$$\left(h, k\right)$$$为中心，$$$b$$$和$$$a$$$分别是半长轴和半短轴的长度。

我们的椭圆在此形式下为 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$。

因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$。

标准形式为$$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$。

顶点式为 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$。

一般式为$$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$。

线偏心距（半焦距）为 $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$。

离心率为 $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$。

第一个焦点为$$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$。

第二个焦点是 $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$。

第一个顶点是$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$。

第二个顶点为 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$。

第一个副顶点是$$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$。

第二个副顶点是 $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$。

长轴的长度为 $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$。

短轴的长度为 $$$2 a = 4$$$。

面积为 $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$。

圆周长为 $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$。

焦参数是焦点与准线之间的距离: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

通径是通过焦点并与短轴平行的弦。

第一条通径为 $$$y = -1$$$。

第二条通径为 $$$y = 1$$$。

第一条通径的端点可通过求解方程组 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ 得到（步骤参见 方程组计算器）。

第一条通径的端点为$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$。

第二条通径的端点可以通过解方程组 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ 求得（步骤见方程组计算器）。

第二条通径的端点为 $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$。

通径（焦宽）的长度为 $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$。

第一条准线为$$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$。

第二条准线为 $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$。

可以通过在方程中令$$$y = 0$$$并对$$$x$$$求解来找到 x 轴截距（步骤见 截距计算器）。

x 轴截距：$$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

与 y 轴的交点可以通过在方程中令$$$x = 0$$$并求解$$$y$$$来找到: (步骤参见 截距计算器)。

y 轴截距：$$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

定义域为$$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$。

值域为 $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$。

标准形式/方程: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

顶点式/方程：$$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A。

一般式/方程：$$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

第一种焦点-准线形式/方程：$$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A。

第二焦点-准线形式/方程：$$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A。

图像：参见 图形计算器。

中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。

第一个焦点：$$$\left(0, -1\right)$$$A。

第二焦点：$$$\left(0, 1\right)$$$A。

第一个顶点：$$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A。

第二个顶点：$$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A。

第一个副顶点：$$$\left(-2, 0\right)$$$A。

第二个副顶点：$$$\left(2, 0\right)$$$A。

长轴长度：$$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A。

长半轴长度：$$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A。

短轴长度：$$$4$$$A。

半短轴长度：$$$2$$$A。

面积：$$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A。

圆周长：$$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A。

第一条通径：$$$y = -1$$$A。

第二通径: $$$y = 1$$$A.

第一条通径的端点：$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A。

第二条通径的端点：$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A

通径长度（焦宽）：$$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A。

半通径：$$$4$$$A。

离心率: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

离心距（焦点距离）：$$$1$$$A。

第一条准线：$$$y = -5$$$A。

第二准线：$$$y = 5$$$A。

x 轴截距: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

y轴截距：$$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A。

定义域：$$$\left[-2, 2\right]$$$A。

值域：$$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A。