|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$\frac{1}{\ln\left(x\right)}$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$\frac{1}{\ln\left(x\right)}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ och $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ med $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$- \frac{\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2}} = - \frac{\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)}{{\color{red}\left(\ln\left(x\right)\right)}^{2}}$$Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}}{\ln^{2}\left(x\right)} = - \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}}{\ln^{2}\left(x\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right) = - \frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right) = - \frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}$$$A