|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\frac{1}{\ln\left(x\right)}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\frac{1}{\ln\left(x\right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ με $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$- \frac{\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2}} = - \frac{\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)}{{\color{red}\left(\ln\left(x\right)\right)}^{2}}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}}{\ln^{2}\left(x\right)} = - \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}}{\ln^{2}\left(x\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right) = - \frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right) = - \frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}$$$A