Calculadora de Diagonalização de Matrizes

Diagonalize $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Primeiro, encontre os autovalores e autovetores (para ver os passos, consulte calculadora de autovalores e autovetores).

Autovalor: $$$6$$$, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Autovalor: $$$3$$$, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Autovalor: $$$-2$$$, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Forme a matriz $$$P$$$, cuja coluna $$$i$$$ é o autovetor número $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Forme a matriz diagonal $$$D$$$ cujo elemento na linha $$$i$$$, coluna $$$i$$$ é o autovalor nº $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.

As matrizes $$$P$$$ e $$$D$$$ são tais que a matriz inicial $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (para as etapas, consulte calculadora de matriz inversa.)

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A