Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$

Encontre os autovalores e os autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Comece por formar uma nova matriz, subtraindo $$$\lambda$$$ dos elementos diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de determinante).

Resolva a equação $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36 = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = 6$$$, $$$\lambda_{2} = 3$$$, $$$\lambda_{3} = -2$$$ (para as etapas, veja equation solver).

Estes são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

• $$$\lambda = 6$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 3\\1 & -1 & 1\\3 & 1 & -5\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

• $$$\lambda = 3$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 3\\1 & 2 & 1\\3 & 1 & -2\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 3\\1 & 7 & 1\\3 & 1 & 3\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

Autovalor: $$$6$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$3$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$-2$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.